• Breaking News

    Panduan dan Tutorial Lengkap serta Materi Pelajaran di Mulyono Blog. Konten Terlengkap dan Terpercaya

    Senin, 25 April 2011

    Program Linier

    Garis Selidik
    Matematika Kelas 1 > Program Linier



    Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.
    Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.

    Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by
    Garis Selidik ax + by = k
    Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.
    Kemungkinan-kemungkinan

    1) k=0 ® ax +by=0
       Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.

    2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri    (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari    poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum    dari fungsi didapat.

    contoh :
    Maksimumkan f(x,y) = x + 2y

    ds : x + 3y £ 9...(1)
          2x + y £ 8...(2)
          x ; y ³ 0

    Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.

    Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7

    Keterangan :
    Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.




    Model Matematika
    Matematika Kelas 1 > Program Linier

    Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
    yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
    - constraint ( Persyaratan )
    - objective Function
    (Fungsi Tujuan / Sasaran)

    Langkah
    - Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
    - Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
    - Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
    - Tentukan titik esktrim daerah tersebut
    - Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
    - Bandingkan nilai yang didapat
    - Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)



    contoh :

    MASALAH MAKSIMUM

    1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan    150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung    dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega    yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00    dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum    yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

       Tabel



    Kue A Kue B Tersedia
    Tepung
    Mentega
    150
    50
    75
    75
    2250
    1750
    KEUNTUNGAN 100 125
        Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat     y buah, maka persoalan menjadi :

       Maksimumkan :
       f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

       dengan syarat (ds):
       150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
       50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
       x,y ³ 0
       catatan : bentuk persyaratan £
    Titik Ekstrim

    A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
    f(x,y) = 100x + 125y
    f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
    (dalam hal ini roti tidak pecahan)
    f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
    f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

    Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

    2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m,     sutera 11 m dan wool 15 m.
        Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool     per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
        katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I     Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
        Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar     didapat keuntungan yang
    sebesar-besarnya ?

    Tabel


    Model I Model II Tersedia
    Katun
    Sutera
    Wool
    2
    1
    1
    1
    2
    3
    16
    11
    15
    KEUNTUNGAN 3000 5000

    Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
                                 model II yang dibuat = y



    Maksimumkan
    f (x,y) = 3000x + 5000y

    ds : 2x + y £ 16 (1)
          x + 2y £ 11 (2)
          x + 3y £ 15 (3)
          x;y ³ 0

    Titik Ekstrim

    A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
    B(7,2)
    ® TP antara garis (1) dengan (2)
    C(3,4)
    ® TP antara garis (2) dengan (3)
    D(0,5)
    ® TP antara garis (3) dengan sb-y

    f (x,y) = 3000x + 5000y

    f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
    f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
    f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
    f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000


    Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah
    model pakaian II.

    MASALAH MINIMUM

    3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit    protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A    mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan    2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan    lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg    masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar    kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1    kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya    Rp 800,00 ?

    Tabel



    A B Kebutuhan
    Protein
    Karbohidrat
    Lemak
    4
    12
    2
    2
    2
    6
    16
    24
    15
    HARGA 1700 800


    Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
                  Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

    Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
    ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
         12x + 2y ³ 24 ® 6x + y
    ³ 12 (2
         2x + 6y ³ 18                   ®   x + 3y ³ 9 (3)
         (Catatan : Bentuk persyaratan ³ )
    Titik Ekstrim
    A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
    B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
    C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
    D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

    f (x,y) = 1700x + 800y

    f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
    f(B) = f(1, 6) = 1700
    (1) + 800( 6 ) = 6500
    f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
    f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

    Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.





    Fungsi Linier Pada Poligonal
    Matematika Kelas 1 > Program Linier

    Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
    dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

    ax + by £ c
    dx + ey £ f
    px + qy £ r

    Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

    DALIL

    Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

    Contoh :

    Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
    dengan syarat : x + 2y £ 4
                          x- y£ 4
                          x ³ 1
                          y ³ -1

    Langkah :
    ® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
       Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
       A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
    ®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

    f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
    f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
    f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
    f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

    Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
    - Nilai maksimum = 9  1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
    - Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).



    Poligonal dan Titik Ekstrim
    Matematika Kelas 1 > Program Linier


    Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal.
    Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut.
    Contoh :

    Gambarkan TK  x + 2y £ 4  (1)
                         x - y £ 4    (2)
                         x ³ 1         (3)
                         y ³ -1       (4)


    Langkah:
    ® Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan     masing- masing tentukan daerahnya.
    ®  Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal.

    ®
    Terakhir cari koordinat titik ekstrim poligonal tersebut.
    - A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1

    - B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4

    - C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4
      C (4, 0)

    - D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4.
     
    D (1, 3/2i )


    Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu :
    A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)


    Dasar Matematis
    Matematika Kelas 1 >Program Linier


    PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).

    DASAR MATEMATIS
    Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian :
    1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c
    2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < c
    3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c
    Ket :
    ® grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis     batas
    ® Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by < c merupakan     suatu daerah.
    contoh :

    1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y £ -6
    Langkah :
    -gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6
    -titik potong dengan sumbu x ® y = 0 dan x = -3 (-3,0)
    -titik potong dengan sumbu y ® x =0 dan y = 2 (0,2)
     Hubungkan kedua titik potong tersebut

    ® pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik    (0,0)
       Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat
       2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah)
       Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi    syarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada    (seperti terlihat pada gambar berikut)
    Ket :
    1. daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian atau    menggunakan tanda anak panah (persetujuan)
    2. bila pertidaksamaan berbentuk 2x - 3y < -6 (tanpa =), maka garis 2x - 3y = -6 dibuat putus-putus, untuk menunjukkan bahwa titik titik pada garis bukan merupakan daerah penyelesaian.
    2. Gambarkan daerah yang memenuhi :
    x + 3y £ 12
    3x + y £ 12
    x ³ 0 ; y ³ 0

    Langkah :
    ® gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y £ 12...(1)
        gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y £12...(2)
        syarat x
    ³ 0 ; y ³ 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud     terletak di kuadran I (x dan y positif)

    ® penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di     atas (merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas).

    daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir