Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Istilah-Istilah Garis Dalam Segitiga Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Garis Bagi	Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sudutnya menjadi 2 bagian sama besar
Garis tinggi	Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus sisi dihadapannya
Garis berat	Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama besar
Garis Sumbu	Garis yang membagi suatu sisi menjadi dua bagian sama besar dan tegak lurus pada sisi itu.

PERGESERAN GRAFIK

Fungsi asal y = f(x)

Geser a satuan	Fungsi Baru
Kekanan	y = f(x-a)
Kekiri	y = f(x+a)
Keatas	(y-a) = f(x) ® y = f(x) + a
Kebawah	(y+a) = f(x) ® y = f(x) -a

Ket : rumusan pergeseran ini berlaku untuk sembarang grafik, seperti : garis lurus, parabola, lingkaran dsb.

contoh :
garis melalui (0,0) ® y = mx	Parabola berpuncak di (0,0) ® y = x²
garis melalui (x1, y1) ® y-y1 = m(x-x1)	Parabola berpuncak di (xp,yp) ® y-yp = a(x-xp)² y = a(x-xp)² + yp

Jarak Dua Buah Titik, Koordinat Titik Tengah, dan Jarak Titik Ke Garis
Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus 

Jarak Dua Buah Titik Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2)
AB = Ö((x1-x2)²+(y1-y2)²)
Koordinat Titik Tengah Koordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2)
XT = (x1+x2)/2 YT = (y1+y2)/2
Jarak Titik Ke Garis Jarak titik A(x1,y1) ke garis g : ax + by + c = 0
d = |(ax1+by1+c)/Ö(a²+b²)|

Ket :

Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain.

Atau gunakan rumus jadi :

Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah

d = |(c1-c2)/Ö(a²+b²)|

Penggunaan :

Luas segitiga = ½ (alas X tinggi)
(alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis

Luas bujur sangkar = sisi X sisi
(sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis

Luas Trapesium = ½ (jumlah sisi sejajar X tinggi)
(sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis)

Bentuk-Bentuk Persamaan Garis
Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus 

1.Bentuk umum    ax + by + c = 0 atau y = mx + n
2. Persamaan sumbu x            ® y = 0
3. Persamaan sumbu y    ® x = 0
4. Sejajar sumbu x ® y = k
5. Sejajar sumbu y ® x = k
6. Melalui titik asal dengan gradien m     y = mx
7. Melalui titik (x1,y1) dengan     gradien m     y -y1 = m (x - x1)
8. Melalui potongan dengan sumbu     di titik (a,0) dan (0,b)     bx + ay = ab
9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)     (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)     y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)

ket :

Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)

Kedudukan Dua Buah Garis Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut.

g1 : y = m1x + n1 ® m1 = tan a g2 : y = mx2 + n2 ® m2 = tan b q : sudut yang dibentuk kedua garis q = (a - b) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)|

Ket :

Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens q harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak.

Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :

Kedudukan Garis	Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2	Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0
Berpotongan	m1 ¹ m2	a/p ¹ b/q
Sejajar	m1 = m2 dan n1 ¹ n2	a/p = b/q ¹ c/r
Tegak lurus	m1.m2 = -1	(ap/bq) = -1
Berimpit	m1= m2 dan n1=n2	a/p = b/q = c/r

 

Melukis Grafik Garis Lurus Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Cukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu).

contoh:

Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0

1. Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x + 3(0) - 6 = 0 ® x = 3 ® (3,0)
   
   
2. Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0) + 3y - 6 = 0 ® y = 2 ® (0,2
   
   Ket:
   Untuk mengetahui apakah suatu titik terletak pada suatu garis adalah dengan cara mensubstitusi koordinat titik tersebut ke persamaan garis. Bila memenuhi persamaan berarti titik tersebut terletak pada garis. Dengan perkataan lain bila suatu titik terletak pada suatu garis, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis (dapat menggantikan variabelnya yang bersesuaian).

Kemungkinan Kedudukan Garis Berdasarkan Nilai m dan n
Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

y = mx + n

m > 0	m < 0	m = 0
arah ke kanan membentuk	arah ke kiri membentuk sudut tumpul	sejajar sumbu x
n > 0	n < 0	n = 0
memotong sumbu y di atas	memotong sumbu y di bawah	melalui (0,0)

 

Gradien Matematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

             y = mx + n       (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik         garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)

0° < a < 90° ® tan a = +

90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat