Fungsi rasional dan asimtot

Apa itu fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk , dimana dan   adalah suatu fungsi polynomial. Dan bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan .

Contoh fungsi rasional, 

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali , kecuali .

Karena untuk , maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.



Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk , nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai .
Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis , ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut , bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.


Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah ,

maka asimtot datarnya ada di
dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

Asimtot datarnya adalah


Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di

Secara umum, jika fungsinya adalah , dengan
maka asimtot datarnya ada di

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!
Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka menuju nol.

Dan nilai sama dengan . Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis ketika x menuju tak hingga.
Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu ,
Ingat, tidak ada asimtot datar.

Asimtot tegak ada di , karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.