


Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.
Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang ??ψ = Eψ akan menjadi bentuk yang sangat sederhana yaitu


Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.
Pada perbatasan kotak (x = 0),

dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),



1) (E < 0)
Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.
2) (E = 0)
Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.
3) (E > 0)
Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai



Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).



Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 − Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin, bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi. Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m da n L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.

Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi En = h2/8mL2 dan fungsi gelombang ψn(x) untuk partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.
Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang ψn(x) dan ψm(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.
(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L) dengan panjang L diberikan oleh persamaan




Inm = I(−) − I(+)
Disini



- Untuk n = m, Inm = 1 − 0 = 1 dan
- Untuk n ≠ m, Inm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita akan memperoleh Inm = δnm.