Jalan terbaik untuk memahami prosedur untuk menyelesaikan persamaan gelombang dan pentingnya solusi adalah dengan mempelajari beberapa contoh. Marilah kita menyelesaikan persamaan Shrödinger bebas waktu ??ψ = Eψ untuk sebuah partikel dengan massa m yang terkurung pada daerah (0 < x < L) pada sumbu-x (kotak satu dimensi). Hamiltonian untuk sistem ini dituliskan sebagai berikut
U(x) adalah energi potensial dari sistem yang dipelajari. Pembatasan terhadap gerakan partikel dilakukan pada U(x) dengan ketentuan sebagai berikut (Gambar 1.13)
(1.43)Perlakuan ini secara alami akan menuju pada ketidakmungkinan untuk menemukan partikel di luar kotak. Jika ψ(x) ≠ 0 pada U(x) = +∞, maka kedua sisi pada persamaan ??ψ = Eψ akan divergen.
(1.44)dimana
(1.45)Solusi umum dari persamaan (1.44) telah diketahui dengan baik dan dituliskan sebagai berikut
(1.46)Substitusi dari ekspresi ini pada sisi kiri persamaan (1.44) akan menghasilkan suku di sisi kanan.
Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.
Pada perbatasan kotak (x = 0),
dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),
(1.47)
(1.48)Karena nilai yang mungkin untuk nilai eigen energi E tidak muncul, kita harus melakukan klasifikasi atas kasus-kasus yang mungkin sebagai berikut.
1) (E < 0)
Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.
2) (E = 0)
Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.
3) (E > 0)
Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai
(1.49)Perlu dicatat bahwa e2ikL = 1 adalah untuk κ yang merupakan bilangan bulat sem barang. Dengan demikian nilai-nilai untuk κ (κ > 0) yang mungkin harus memenuhi kondisi berikut
(1.50)Dengan memasukkan nilai κ ke dalam persamaan (1.45), kita akan mendapatkan nilai-nilai yang mungkin untuk energi E dengan nilai integer n.
(1.51)Ini adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada dalam sebuah kotak satu dimensi. Untuk energi yang bernilai lain selain yang diberikan pada persamaan (1.51), tidak ada solusinya. Munculnya tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit adalah sebuah konsekuensi dari kuantisasi energi. Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan bilangan bulat positif n. Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan disebut sebagai bilangan kuantum.
Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).
Di sini, rumus eiθ = cos θ + i sin θ digunakan dan 2ai ditulis sebagai c. Nilai dari c ditentukan melalui persyaratan normalisasi.
Nilai dari integral terakhir adalah L/2 dan c2 ·(L/2) = 1. Dengan demikian maka c = √2/L, dan kita memperoleh solusi di dalam kotak sebagai berikut.
Tingkat energi En dan fungsi gelombang ψn(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi dengan panjang L ditunjukkan pada Gambar 1.14.
Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 − Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin, bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi. Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m da n L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.
δ nm adalah Kronecker delta di mana akan sama dengan 1 jika n = m dan 0 jika n ≠ m.
(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L) dengan panjang L diberikan oleh persamaan
(1.52)Untuk posisi di luar kotak ψn(x) = 0 . Marilah kita menyebutkan integral yang menjadi masalah sebagai Inm.
Rumus penjumlahan sudut untuk fungsi trigonometri
akan menghasilkan
Dengan demikian
Dengan menuliskan θ = πx/L dan dengan menggunakan dθ = (π/L)dx , kita akan memperoleh
Ketika (n ± m) tidak sama dengan 0,
Ketika (n − m = 0),
Karenanya,
(1.43)Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.
Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang ??ψ = Eψ akan menjadi bentuk yang sangat sederhana yaitu(1.44)(1.45)(1.46)Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.
Pada perbatasan kotak (x = 0),
dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),
(1.47)(1.48)1) (E < 0)
Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.
2) (E = 0)
Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.
3) (E > 0)
Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai
(1.49)(1.50)(1.51)Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).
Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 − Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin, bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi. Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m da n L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.
Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi En = h2/8mL2 dan fungsi gelombang ψn(x) untuk partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.
Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang ψn(x) dan ψm(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L) dengan panjang L diberikan oleh persamaan
(1.52)Inm = I(−) − I(+)
Disini- Untuk n = m, Inm = 1 − 0 = 1 dan
- Untuk n ≠ m, Inm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita akan memperoleh Inm = δnm.