Sebuah partikel dalam kotak satu dimensi

Jalan terbaik untuk memahami prosedur untuk menyelesaikan persamaan gelombang dan pentingnya solusi adalah dengan mempelajari beberapa contoh. Marilah kita menyelesaikan persamaan Shrödinger bebas waktu ??ψ = Eψ untuk sebuah partikel dengan massa m yang terkurung pada daerah (0 < x < L) pada sumbu-x (kotak satu dimensi). Hamiltonian untuk sistem ini dituliskan sebagai berikut

U(x) adalah energi potensial dari sistem yang dipelajari. Pembatasan terhadap gerakan partikel dilakukan pada U(x) dengan ketentuan sebagai berikut (Gambar 1.13)

(1.43)

Perlakuan ini secara alami akan menuju pada ketidakmungkinan untuk menemukan partikel di luar kotak. Jika ψ(x) ≠ 0 pada U(x) = +∞, maka kedua sisi pada persamaan ??ψ = Eψ akan divergen.

Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang ??ψ = Eψ akan menjadi bentuk yang sangat sederhana yaitu

(1.44)

dimana

(1.45)

Solusi umum dari persamaan (1.44) telah diketahui dengan baik dan dituliskan sebagai berikut

(1.46)

Substitusi dari ekspresi ini pada sisi kiri persamaan (1.44) akan menghasilkan suku di sisi kanan.
Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.
Pada perbatasan kotak (x = 0),
dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),

(1.47)

(1.48)

Karena nilai yang mungkin untuk nilai eigen energi E tidak muncul, kita harus melakukan klasifikasi atas kasus-kasus yang mungkin sebagai berikut.
1) (E < 0)
Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.
2) (E = 0)
Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.
3) (E > 0)
Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai

(1.49)

Perlu dicatat bahwa e^2ikL = 1 adalah untuk κ yang merupakan bilangan bulat sem barang. Dengan demikian nilai-nilai untuk κ (κ > 0) yang mungkin harus memenuhi kondisi berikut

(1.50)

Dengan memasukkan nilai κ ke dalam persamaan (1.45), kita akan mendapatkan nilai-nilai yang mungkin untuk energi E dengan nilai integer n.

(1.51)

Ini adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada dalam sebuah kotak satu dimensi. Untuk energi yang bernilai lain selain yang diberikan pada persamaan (1.51), tidak ada solusinya. Munculnya tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit adalah sebuah konsekuensi dari kuantisasi energi. Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan bilangan bulat positif n. Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan disebut sebagai bilangan kuantum.
Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi E_ω, dapat ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).

Di sini, rumus e^iθ = cos θ + i sin θ digunakan dan 2ai ditulis sebagai c. Nilai dari c ditentukan melalui persyaratan normalisasi.

Nilai dari integral terakhir adalah L/2 dan c² ·(L/2) = 1. Dengan demikian maka c = √2/L, dan kita memperoleh solusi di dalam kotak sebagai berikut.

Tingkat energi E_n dan fungsi gelombang ψ_n(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi dengan panjang L ditunjukkan pada Gambar 1.14.
Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah energi tingkat dasar E₁ = h ²/8mL² > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini U_min = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E₁ − U_min > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E₁ − U_min, bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi. Karenanya energi sebesar E₁ − U_min disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E₁ = h²/8mL² dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m da n L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.

Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi E_n = h²/8mL² dan fungsi gelombang ψ_n(x) untuk partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang ψ_n(x) dan ψ_m(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

δ nm adalah Kronecker delta di mana akan sama dengan 1 jika n = m dan 0 jika n ≠ m.
(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L) dengan panjang L diberikan oleh persamaan

(1.52)

Untuk posisi di luar kotak ψ_n(x) = 0 . Marilah kita menyebutkan integral yang menjadi masalah sebagai I_nm.

Rumus penjumlahan sudut untuk fungsi trigonometri

akan menghasilkan

Dengan demikian

I_nm = I(−) − I(+)

Disini

Dengan menuliskan θ = πx/L dan dengan menggunakan dθ = (π/L)dx , kita akan memperoleh

Ketika (n ± m) tidak sama dengan 0,

Ketika (n − m = 0),

Karenanya,

1. Untuk n = m, I_nm = 1 − 0 = 1 dan
2. Untuk n ≠ m, I_nm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita akan memperoleh I_nm = δ_nm.

Integral dari contoh ini dengan n = m adalah kondisi normalisasi, dengan diberikan bahwa fungsi gelombangnya telah dinormalisasi terlebih dahulu. Untuk n ≠ m, integralnya akan sama dengan 0, di mana dua fungsi gelombangnya dikatakan saling ortogonal dan memenuhi sifat ortogonalitas. Sifat ortogonalitas berlaku secara umum antara sembarang fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan nilai eigen yang berbeda. Ketika fungsi-fungsi ternormalisasi dan saling ortogonal, maka himpunan fungsi-fungsi tersebut dikatakan ortonormal dan mengikuti sifat ortonormalisasi.