Momentum sudut

Momentum sudut adalah sebuah besaran fisika yang penting, khususnya untuk masalah-masalah pada tingkat energi dan spektra atom dan molekul. Dalam bagian ini, momentum sudut akan didefinisikan dan sifat-sifatnya akan dijelaskan.
Momentum sudut dari sebuah partikel didefinisikan sebagai sebuah produk luar (produk vektor) r x p dari posisi vektor r yang menyatakan posisi (x, y, z) dan momentum = (x, y, z).

(1.96)

Persamaan ini dapat ditulis ulang dengan komponen-komponen berikut.

(1.97)

Momentum sudut yang diperkenalkan di sini disebut sebagai momentum sudut orbital karena ini berkaitan dengan gerak orbital klasik dari partikel.
Contoh 1.12 Dapatkan momentum sudut orbital l dari sebuah partikel dengan masa m yang melingkar pada bidang x-y dengan kecepatan yang konstan v dan pada radius r. Kemudian tulis lagi kondisi Bohr untuk kuantisasi pada persamaan (1.21) untuk batasan dari besaran momentum sudut |l|.
(Jawaban) Karena z = 0, p_z = 0 untuk gerak melingkar di sekitar titik pusat O dalam bidang x-y sebagaimana ditunjukkan dalam gambar, maka komponen x dan y dari momentum sudut l, keduanya akan menghilang.

Dengan mengambil sudut θ dan arah dari kecepatan v sebagaimana dalam gambar, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.

Komponen z dari momentum sudut l menjadi

Dengan demikian, tiga komponen dari momentum sudut orbital I diekspresikan dengan

Berdasarkan persamaan (1.21) kondisi Bohr untuk kuantisasi adalah

Dengan catatan bahwa |l| = mvr dalam persamaan di atas maka kita mendapatkan

Dengan demikian, kondisi Bohr untuk kuantisasi menunjukkan bahwa besaran momentum sudut orbital dari gerak melingkar dikuantisasi menjadi perkalian bilangan bulat dengan h.
Operator Î= (Î_x, Î_y, Î_z) berhubungan dengan l yang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (1.53) yang digunakan juga untuk menurunkan operator Hamiltonian dengan menggunakan koordinat polar (r, θ, φ) kita akan mendapatkan persamaan berikut.

(1.98)

Persamaan-persamaan ini akan menuju pada sebuah ekspresi yang sangat berguna untuk momentum sudut kuadrat l² = l_x² + l_y² + l_z² . Sehingga β akan sebanding dengan operator Legendre Λ.

(1.99)

Sifat karakteristik dari operator Λ telah dipelajari dengan baik dalam kaitannya dengan harmonik sudut Y_l,m. Beberapa contoh untuk Y_l,m ditunjukkan dalam tabel 1.3. Hubungan berikut ini adalah sangat penting.

(1.100)

atau

(1.101)

Ini adalah persamaan eigen untuk β ; Y_l,m adalah fungsi eigen dan l(l + 1)h² adalah nilai eigen. l adalah bilangan kuantum yang menentukan besarnya momentum sudut orbital. Ini adalah bilangan kuantum untuk kuadrat dari l dan dibatasi pada nilai l = 0,1,2,3,… .
Hubungan berikut untuk kompnen z dari momentum sudut Î_z dan dapat dikonfirmasi pada tabel 1.3.

(1.102)

Ini adalah persamaan eigen untuk Î_z ; Y_l,m adalah fungsi eigen dan mh adalah nilai eigen. m adalah bilangan kuantum untuk komponen z dari momentum sudut orbital dan memiliki 2l + 1 nilai yang mungkin yang berkaitan dengan bilangan kuantum l dalam daerah dari −l hingga +l. Sebagai contoh untuk l = 1, maka nilai yang mungkin adalah m = -1, 0, 1. Karakteristik yang seperti itu untuk l dan m adalah berkaitan dengan perilaku elektron dalam atom. Sebuah hubungan yang sama dan juga penting dalam menjelaskan keadaan rotasional dari molekul. Sebagaimana telah dipelajari dalam kasus rotor yang kaku dari sebuah molekul diatomik, operator Hamiltonian adalah sebanding dengan operator Legendre Λ dalam persamaan (1.100), fungsi gelombang untuk rotasi molekul akan menjadi fungsi harmonik sperikal Y_l,m.

Tabel 1.3. Harmonik sperikal Y_l,m (θ, φ)