Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

Notasi Faktorial dan Prinsip Dasar
Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian


Notasi Faktorial     n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.
Definisi 0! = 1
PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n₁ cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n₂ cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n₁.n₂ cara yang berlainan.
Contoh:
Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.
Jawab:
Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.

5 ratusan

5 puluhan

3 satuan

• Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.
  
  
• Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.
  
  
• Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.
  
  
   
  

  Permutasi Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

  
  
  
  Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
  Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis ₃P₃ = 6
  
  Secara Umum
  Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
  
  _nP_k = n! / (n-k) !
  Contoh:
  Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
  Jawab:
  Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
  Maka banyaknya cara duduk ada :
  ₇P₃ = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
  
  Permutasi Siklis
  Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
  Contoh:
  Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
  Jawab:
  Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
  
  
  
  

  Binonium Newton Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

  
  
  Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
  (x+y)ⁿ = _nC₀Xⁿ + _nC₁X^n-1y + ....... + _nC_nyⁿ
  Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
  _nC_o = 1
  _nC₁ = n!/1!(n-1)! = n
  _nC₂ = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
  _nC_n-1 = _nC1 = n/1 = n
  _nC_n = 1
  
  Catatan:
  
  
  • banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
    
    
  • rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
                      _{n                             n}
    (x+y)ⁿ = å _nC_k x^n-k y^k = å (n! / k! (n-k)!) x^n-k y^{k
                     k=0                         k=0}
    
    
  • Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal
  
  
   
  

Peluang Kejadian Matematika Kelas 2 > Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

DEFINISI Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. P(A) = k / n Dimana k : jumlah terjadinya kejadian A n : jumlah seluruh yang mungkin Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel Contoh: 1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.     A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.     Maka :     S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}     A = {mmb, bmm}     n(S) = 23 = 8     n(A) = 2     P(A) = 2/8 = 1/4 2. Percobaan melempar dadu satu kali.     A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.     Maka :     S = {1,2,3,4,5,6}     A = {2,4,6}     n(S) = 6     n(A) = 3     P(A) = 3/6 = 1/2 Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku             _ P(A) + P(A) = 1 Contoh: Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King? Jawab: P (King) = 4/52 = 1/13 P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

DEFINISI
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3
P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.