• Breaking News

    Panduan dan Tutorial Lengkap serta Materi Pelajaran di Mulyono Blog. Konten Terlengkap dan Terpercaya

    Rabu, 04 Mei 2011

    Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

    Notasi Faktorial dan Prinsip Dasar
    Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian



    Notasi Faktorial     n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.
    Definisi 0! = 1
    PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)
    Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.
    Contoh:
    Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.
    Jawab:
    Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.
    5
    ratusan
    5
    puluhan
    3
    satuan
    • Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.

    • Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.

    • Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.


       
      Permutasi
      Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian



      Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
      Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6

      Secara Umum

      Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
      nPk = n! / (n-k) !
      Contoh:
      Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
      Jawab:
      Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
      Maka banyaknya cara duduk ada :
      7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

      Permutasi Siklis

      Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
      Contoh:
      Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
      Jawab:
      Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.



      Binonium Newton
      Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian


      Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
      (x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn
      Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
      nCo = 1
      nC1 = n!/1!(n-1)! = n
      nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
      nCn-1 = nC1 = n/1 = n
      nCn = 1

      Catatan:


      • banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1

      • rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
                          n                             n
        (x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
                         k=0                         k=0


      • Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal


       

    Peluang Kejadian
    Matematika Kelas 2 > Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian


    DEFINISI
    Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
    P(A) = k / n
    Dimana
    k : jumlah terjadinya kejadian A
    n : jumlah seluruh yang mungkin

    Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
    Contoh:
    1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
        A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
        Maka :
        S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
        A = {mmb, bmm}
        n(S) = 23 = 8
        n(A) = 2
        P(A) = 2/8 = 1/4

    2. Percobaan melempar dadu satu kali.
        A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
        Maka :
        S = {1,2,3,4,5,6}
        A = {2,4,6}
        n(S) = 6
        n(A) = 3
        P(A) = 3/6 = 1/2

    Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
                _
    P(A) + P(A) = 1

    Contoh:
    Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
    Jawab:
    P (King) = 4/52 = 1/13
    P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13





    Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas
    Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian



    DEFINISI
    Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
    P(AÇB) = P(A). P(B)
    Contoh:
    Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
    Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
    a) Keduanya berwarna putih
    b) Keduanya berwama hitam
    Jawab:
    Misal
    A = bola putih dari tas I
    B = bola putih dari tas II
    P(A) = 4/6
    P(B) = 3/8
       _                  _
    P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

    a. P(A
    ÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
            _        _         _      _
    b. P((A)
    Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

    DEFINISI
    Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
    P (AUB) = P(A) + P(B)
    Contoh:
    Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
    Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
             
    n(S) - (6)2 = 36
    A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
         n(A) = 5
    B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
         n(B) = 3
    P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
    AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
           { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
           n(AUB) = 8

    P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
    A dan B kejadian yang saling asing.

    DEFINISI

    Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
    P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
    Contoh:
    Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
    A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
    B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
    P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
    A dan B kejadian yang tidak saling asing.