Matriks lengkap

Pendahuluan
Matematika Kelas 2 > Matriks



DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û ordo matriks A_2x3
Banyaknya baris  = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c
Banyaknya kolom = 3
kolom 1 : é a ù
tttttttttttë d û
kolom 2 : é b ù
tttttttttttë e û
kolom 3 : é c ù
tttttttttttë f û
keterangan:  A_2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1


Matriks Bujur Sangkar dan Matriks Transpos
Matematika Kelas 2 > Matriks

MATRIKS BUJUR SANGKAR Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama A=é a b ù tttë c d û A berordo 2 KESAMAAN MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya sama b. Elemen-elemen yang seletak sama        A                B é    4p+q2 ù =   é 4     2  ù ë 5p+q   5 û      ë 7   q+3 û q + 3 = 5   ® q =2 5p + q = 7 ® p = 1 MATRIKS TRANSPOS                                                                                                  _ Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A. A=é a b c ù tttë d e f û 2x3 At =é a d ù       ê b e ú tt t  ë c f  û 3x2 Operasi Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks PENJUMLAHAN MATRIKS Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama). A + B =       A + B é a b ù ë c d û é p q ù ë r  s û é a + p  b + q ù ë c + r   d + s û          PENGURANGAN MATRIKS Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B. A - B = A + (-B) A - B =       A - B é a b ù ë c d û é p q ù ë r  s û é a - p  b - q ù ë c - r   d - s û          PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k. A = é a b ù ë c d û ® k A = é ka kb ù ë kc kd û Perkalian Dua Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B           hasil     ¾¾¾¾¾¾¾ A m x n x B n x p = C m x p             ¾¾¾  Aturan perkalian Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu. Contoh : 1. A= é a b ù ë c d û dan B = é x ù ë y û A x B = é a b ù ë c d û é x ù ë y û é ax + by ù ë cx + dy û 2. [ a b c ] é x ù ê y ú ë z û = [ ax + by + cz ] 1 x 3 3 x 1         1 x 1 3. é a b c ù ë d e f û é x ù ê y ú ë z û = é ax + by + cz ù ë dx + ey + fz û    2 x 3 3 x 1         2 x 1 Ket : perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ¹ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC). Determinan Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks                         - Jika A2x2 = é a b ù , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai Jika A2x2 = ë c d û                        + |A| = ad - bc                        -   -  - Jika A3x3 = é a b c ù a b Jika A3x3 = ê d e f ú d e Jika A3x3 = ë g h i  û g h                         +    +  + maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb Keterangan: Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama. |A| =a ½ e f ½ - b ½ d f ½ + c ½ d e ½ = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge              ½ h i ½      ½ g i ½       ½ g h ½ Matriks Satuan dan Matriks Invers Matematika Kelas 2 > Matriks MATRIKS SATUAN adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0. Notasi : I (Identitas) I2 = é 1 0 ù ë 0 1 û I3 = é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û Sifat AI = IA = A MATRIKS INVERS Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1). Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular. Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I Perluasan A . B = I    ® A = B-1      B = A-1 A . B = C ® A = C . B-1   B = A-1 . C Sifat-Sifat 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A . B)t = Bt . At 4. (A-t)-t = A 5. (A . B)-1 = B-1 . A-1 6. A . B = C ® |A| . |B| = |C| Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Matematika Kelas 2 > Matriks ax + by = p     ditulis cx + dy = q    A     X      B é a b ù é x ù =   é p ù ë c d û ë y û =   ë q û AX = B , maka X = A-1 . B Cara Matriks é x ù =     1        = é d -b ù é p ù ë y û    ad - bc      ë -c a û ë q û Cara Determinan = = x = Dx ê p b ú ê q d ú Dy ê a p ú ê c q ú ————— = —————— ; y = ———— = —————— D ê a b ú ê c d ú  D ê a b ú ê c d ú Transformasi Geometri Matematika Kelas 2 > Matriks Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban. TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Matriks Perubahan Perubahan é a ù ë bû (x,y) ® (x+a, y+b) F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0 Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b Sifat: Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan                                              ë b û dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù                                  ë d û                       ë b + d û Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) Pencerminan terhadap Matriks Perubahan Titik Perubahan fungsi sumbu-x é 1 -0 ù ë 0 -1 û (x,y) ® (x,-y) F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0 sumbu -y é -1 0 ù ë -0 1 û (x,y) ® (-x,y) F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0 garis y = x é 0 1 ù ë 1 0 û (x,y) ® (y,x) F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0 garis y = -x é -0 -1 ù ë -1 -0 û (x,y) ® (-y,-x) F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0 Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1 SIFAT-SIFAT Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) rotasi matriks perubahan titik perubahan fungsi ½ p é0  -1ù ë1 -0 û (x,y) ® (-y,x) F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0 p é-1  0ù ë1 -1 û (x,y) ® (-x,-y) F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0 3/2 p é0  -1ù ë-1 0 û (x,y) ® (y,-x) F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0 q écosq -sinq ù ësinq  cosq û (x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0 Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1 SIFAT-SIFAT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) Dilatasi Matriks Perubahan titik Perubahan fungsi (0,k) ék  0ù ë0  kû (x,y)®(kx,ky) F(x,y)=0®F(x/k,y/k) Ket.: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO TRANSFORMASI LINIER Ditentukan oleh matriks éa  bù                                 ëc  dû é x' ù = é a b ù é x ù ë y' û   ë c d û ë y û é x ù =    1        é a -b ù é x' ù ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û  Perubahan Titik Perubahan Fungsi (x,y)®(ax+by, cx+dy) F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui. Komposisi Transfromasi dan Transformasi Invers Matematika Kelas 2 > Matriks KOMPOSISI TRANSFORMASI Jika A =   é a b ù adalah T1 dan B = é e f ù adalah T2 ttt         ë c d û                          ë g hû maka T2 ° T1 = BA = é e f ù é a b ù                             ë g hûë c d û ® menyatakan transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 TRANSFORMASI INVERS Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1 (yaitu jika M-1 ada).