Nilai terukur dan nilai ekspektasi

Nilai-nilai eigen (nilai eigen energi) yang memenuhi persamaan gelombang untuk keadaan stasioner adalah energi dari sistem yang dimungkinkan untuk dimiliki oleh sistem dan dinamakan tingkat energi. Karenanya, nilai energi yang terukur untuk keadaan stasioner harus sesuai dengan nilai eigen energi. Dengan kata lain setiap nilai yang berbeda dari nilai eigen energi tidak dapat diukur secara prinsip, kecuali untuk perbedaan yang disebabkan oleh kesalahan eksperimental. Bagaimana dengan nilai eigen dari momentum dan nilai eigen dari momentum sudut? Ini telah dikonfirmasi dengan eksperimen bahwa nilai yang mungkin yang akan diukur sebagai sebuah kuantitas fisika haruslah sebuah nilai eigen dari operator yang dapat diamati.
Jika sebuah sistem berada dalam keadaan stasioner, energinya harus merupakan sebuah nilai yang tertentu, kapanpun dia diamati. Ini dikarenakan fungsi gelombang yang merepresentasikan sebuah keadaan dari sistem adalah sebuah fungsi eigen tertentu yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut.
Momentum atau momentum sudut tidak selalu tertentu dan nilai yang terukur dapat saja berbeda. Ini berkaitan dengan sifat dari fungsi gelombang yang tidak harus sama (atau proporsional) dengan fungsi eigen tertentu dari momentum atau momentum sudut.
Penyelidikan secara teori kuantum terhadap ketidakpastian dalam kuantitas yang terukur akan memberikan aturan-aturan sebagai berikut.

1. Fungsi gelombang Ψ(q, t) dapat diekspresikan dalam bentuk berikut ini yang merupakan kombinasi linier dari {φ_i} yang merupakan fungsi eigen dari suatu kuantitas fisik F.
   (1.103)
   Di sini, persamaan eigen untuk F diberikan dengan
   
   (1.104)
2. Nilai yang terukur dari sebuah kuantitas fisik F haruslah berkesesuaian dengan satu nilai eigen untuk operatornya . Probabilitas P(f _i) untuk menemukan nilai eigen ke-i, f_i diberikan oleh kuadrat dari koefisien ke-i, c_i dalam ekspansi yang ditulis di atas dalam bentuk fungsi eigen yang ternormalisasi {φ_i}.
   (1.105)
   Karena probabilitas total haruslah sama dengan suatu satuan
   
   (1.106)
   Kemudian konstanta a pada persamaan (1.105) harus dinormalisasi dengan cara sebagai berikut.
   
   (1.107)

Dari kedua aturan di atas, rata-rata dari nilai terukur 〈f 〉 diharapkan diberikan oleh rumusan berikut ini.

(1.108)

Nilai pada sisi sebelah kanan pada persamaan ini ditentukan oleh besaran dari koefisien ekspansi {c_i} yang merepresentasikan jumlah dari masing-masing komponen yang termasuk dalam Ψ Jika seluruh c_i (i ≠ 1) kecuali untuk c_i (i = 1) adalah 0, kemudian 〈f 〉 = f_i. Dalam kasus ini, Ψ adalah keadaan asli dari Ψ = c₁φ₁, yang terdiri dari hanya fungsi eigen yang pertama dan P ( f 1 ) = 1 untuk i = 1 sementara P(f_i) = 0 untuk i ≠ 1 . Ketika suatu nilai eigen f_i yang berasal dari seluruh nilai eigen {f_i} dari adalah selalu diamati, keadaan Ψ adalah keadaan eigen dari suatu besaran fisis F dan kuantitas fisis ini selalu memiliki suatu nilai f. Di lain pihak untuk kasus-kasus yang lebih umum dari keadaan yang tercampur yang mana Ψ mengandung beberapa komponen dari himpunan {c_i}, nilai yang terukur akan terdistribusi pada nilai eigen yang berbeda daripada memiliki nilai tetap pada suatu nilai tertentu.
Rata-rata dari nilai yang dapat terukur 〈f 〉 dapat langsung dihitung dengan nilai ekspektasi dari mekanika kuantum 〈F〉 dan didefinisikan oleh rumus berikut.

(1.109)

Proses integrasi harus dilakukan untuk seluruh variabel yang disimbolkan dengan q pada seluruh daerah dari variabel Ψ. Ketika Ψ telah dinormalisasi, penyebut menjadi satu dan dengan demikian hal ini dapat diabaikan.