Hubungan komutasi dan prinsip ketidakpastian

Apakah sebuah pasangan dari kuantitas fisik F dan G memiliki suatu nilai yang dapat diukur secara simultan atau tidak ditentukan dengan sifat-sifat yang berkaitan dengan operator dan . Secara umum, jika terdapat sebuah himpunan dari fungsi eigen yang umum {φ_i}, maka hubungan berikut ini akan berlaku.

(1.110)

Kebalikannya juga, jika hubungan ini berlaku maka terdapat sebuah himpunan dari fungsi eigen yang umum {φ_i}. Hubungan di atas menunjukkan bahwa operator dan berkomutasi dan susunan dari kedua operator tersebut dapat saling dipertukarkan.
Marilah kita meninjau sebuah kasus yang khusus di mana sebuah operator komut dengan operator Hamiltonian ??. Dalam kasus ini terdapat sebuah fungsi Ψ yang secara simultan adalah sebuah fungsi eigen dari dan ?? dan kemudian pasangan dari persamaan Ψ = fΨ dan ??Ψ = EΨ adalah saling kompatibel untuk fungsi yang sama Ψ. Dalam kasus khusus yang demikian fungsi gelombang Ψ dari fungsi eigen ?? dengan nilai eigen E adalah juga fungsi eigen dari dengan nilai eigen f. Kuantitas fisik F dapat memiliki suatu nilai hanya jika operator yang berkaitan F komut dengan H. Jika dan ?? tidak saling komut, F tidak dapat memiliki suatu nilai tertentu dan sebuah nilai yang terukur f akan diamati pada probabilitas sebesar P(f_i) berdasarkan aturan yang telah disampaikan di atas.
Contoh 1.13 Konfirmasikan bahwa operator koordinat nilai positif dan operator dari komponen-x dari momentum linier _x tidak saling komut.
(Jawaban) Karena = x dan _x = −h∂ / ∂x, kita akan mendapatkan persamaan berikut untuk sebuah fungsi sembarang φ_(x).

Ini akan menjadi

Dengan mengingat bahwa φ adalah fungsi dari x,

Karena suku di sebelah kanan tidak sama dengan 0, kita dapat menyimpulkan bahwa dan tidak saling berkomutasi.
Sama dengan contoh di atas, d an _y dan juga dan _z adalah saling tidak berkomutasi. Karenanya koordinat posisi dan momentum linier tidak dapat memiliki suatu nilai tertentu pada saat yang bersamaan. Ketidakpastian dari nilai yang terukur dipelajari oleh W. K. Heisenberg. Dia menemukan hubungan berikut pada tahun 1927

(1.111)

Di sini, Δq dan Δp menyatakan ketidakpastian untuk posisi q dan berkaitan dengan momentum p. Karena hubungan ini, jika kita ingin memastikan posisi, nilai terukur untuk momentum menjadi tidak pasti dengan nilai-nilai yang terdistribusi. Sebaliknya, jika kita ingin memastikan momentum maka nilai terukur dari posisi menjadi tidak pasti. Sebuah hubungan yang sama juga ditemukan untuk ketidakpastian energi ΔE dan interval waktu Δt yang diperlukan untuk pengukuran.

(1.112)

Ini berarti bahwa kita memerlukan waktu yang tak berhingga untuk menentukan energi secara tepat. Ketika interval dari waktu sangat singkat, energi menjadi tidak tentu dari suatu nilai yang ingin ditentukan. Kedua ketidaksamaan di atas disebut sebagai prinsip ketidakpastian.