Spin elektron

Orbital elektron dan tingkat energi dari sistem elektron banyak diklasifikasikan menjadi 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, dan seterusnya dalam kasus atom-atom hidrogenik. Masalahnya adalah bagaimana elektron-elektron tersebut didistribusikan ke dalam orbital elektron. Apakah seluruh elektron digabungkan ke dalam orbital yang paling stabil yaitu orbital 1s dengan energi terendahnya? Kesimpulan dari teori kuantum adalah bahwa hanya ada dua elektron yang dapat menempati orbital yang sama. Aturan ini berkaitan dengan momentum sudut khusus yang disebut sebagai spin elektron.

2.4.1 Landasan eksperimental untuk spin elektron.

Keberadaan spin elektron dibuktikan melalui beberapa eksperimen.

1. Eksperimen berkas atom oleh Stern dan Gerlach
Aliran atom dapat dihasilkan dalam sebuah ruang vakum melalui nozel setelah melakukan evaporasi perak atau logam alkali dengan pemanasaan. Aliran atom yang demikian itu dalam vakum disebut sebagai berkas atom. O. Stern dan W. Gerlach menemukan pada tahun 1922 bahwa berkas atom perak atau atom natrium, yang memiliki hanya satu elektron pada kulit terluar, berpisah membentuk dua garis dalam sebuah medan magnet tidak homogen (Gambar 2.7). Eksperimen ini memberikan gambaran bahwa sebuah elektron memiliki sebuah momen magnetik, yang merupakan sifat magnetik yang berkaitan dengan arus listrik melingkar.

Gambar 2.7 Eksperimen berkas atom oleh Stern dan Gerlach.
2. Garis ganda (doblet) dalam spektrum atom logam alkali
Sebuah warna oranye dari reaksi pembakaran natrium dapat dipancarkan dari lampu lecutan listrik dengan uap natrium. Garis-garih hitam (Garis Fraunhofer) ditemukan dalam spektrum dari matahari terdiri dari garis-garis dengan panjang gelombang yang sama sebagaimana spektrum natrium dan disebut sebagai garis-garis D. Garis-garis D dari natrium berasal dari transisi antara tingkat 3s dan 3p dan pada garis-garis itu diamati terdiri dari dua garis yang berdekatan (doblet) pada panjang gelombang 5895.93 Å dan 5889.97 Å. Doblet seperti itu juga ditemukan pada atom alkali yang lain dan jarak pemisahannya diketahui akan semakin membesar dengan susunan Li < Na < K < Rb < Cs. S.A. Goudsmit dan G.E. Uhlenbeck mengusulkan bahwa pemisahan garis spektra disebabkan oleh momen magnetik dari sebuah elektron yang berkaitan dengan gerakan melingkarnya. Karena momentum sudut dikaitkan dengan gerakan melingkar dari sebuah muatan listrik, momentum sudut ini yang menjadi asal usul momen magnetik dari sebuah elektron. Momentum sudut yang yang berkaitan dengan gerakan melingkar oleh sebuah elektron disebut sebagai spin elektron.

2.4.2 Operator, fungsi eigen, dan bilangan kuantum untuk spin elektron

Dalam usaha untuk membahas spin elektron dalam mekanika kuantum, operator harus diperkenalkan seperti pada momentum sudut orbital. Marilah kita menuliskan momen sudut spin sebagai dan dengan komponen-z ditulis sebagai _z. Dengan mengambil analogi terhadap momentum sudut orbital, fungsi eigen yang umum Γ untuk dan _z diharapkan ada dan harus memiliki hubungan sebagai berikut:

(2.42)

(2.43)

s adalah bilangan kuantum untuk kuadrat dari spin dan disebut sebagai bilangan kuantum spin. m_s adalah bilangan kuantum untuk ko mponennya dan disebut sebagai bilangan kuantum spin magnetik. Aturan umum untuk momentum sudut menyarankan bahwa m_s harus memiliki 2s + 1 nilai yang mungkin dengan s, s – 1,…, s, s + 1, s, s. Dengan eksperimen, berkas atom dipisahkan menjadi dua komponen dalam sebuah medan magnet dan spektra logam alkali terpisahkan menjadi 2 garis. Berdasarkan penemuan ini, ms disimpulkan hanya memiliki 2 nilai yang mungkin. Ini mengikuti ketentuan bahwa 2s + 1 = 2 dan karenanya kita mendapatkan s, s = 1/2, m_s = ±1/2. Harus dicatat bahwa bilangan kuantum spin adalah sebuah setengah bilangan bulat dengan hanya satu nilai yaitu s = 1/2. Nilai yang dibolehkan untuk m_s dibatasi hanya pada nilai ±1/2. Spin adalah momentum sudut yang sangat khusus jika dibandingkan dengan momentum sudut orbital.
Meskipun sifat yang khusus dari momentum sudut spin sangat sulit untuk dimengerti secara konseptual, perhitungan dan perlakuan matematikanya sangatlah sederhana. Karena hanya ada dua keadaan, maka hanya terdapat dua buah fungsi eigen. Biasanya fungsi spin berkaitan dengan dengan m_s = 1/2 dinyatakan sebagai α, dan fungsi spin yang lain untuk m_s = -1/2 dinyatakan sebagai β.

(2.44)

(2.45)

Dalam kaitan dengan orientasi dari momen magentik yang berkaiatan dengan gerakan berputar, arah ke atas disebut sebagai spin α dan arah ke bawah disebut sebagai spin β. Variabel σ untuk fungsi spin α(σ), β(σ) disebut sebagai koordinat spin.
Meskipun keberartian dari koordinat spin σ tidak jelas, kita tidak perlu untuk memperhatikan apa yang direpresentasikannya. Koordinat spin adalah koordinat ke empat yang mengkuti tiga koordinat untuk posisi dalam ruang tiga dimensi. Secara formal, nilai yang dimungkinkan untuk koordinat spin hanya ada dua kasus yaitu orientasi keatas σ =↑ dan orientasi ke bawah σ = ↓.

(2.46)

Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada σ =↑ adalah sama dengan 1 dalam keadaan spin ke atas α dan 0 dalam keadaan spin ke bawah β . Di sisi yang lain, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada keadaan σ =↓ adalah sama dengan 0 dalam keadaan spin ke atas α dan 1 dalam keadaan spin ke bawah β .
Dalam mekanika kuantum, beberapa integral perlu dihitung dalam kaitannya dengan probabilitas dan normalisasi. Sebagaimana untuk spin, sebuah penjumlahan yang sederhana untuk dua koordinat saja, ↑ dan ↓, yang perlukan. Sebagai contoh persamaan (2.46) akan menghasilkan

(2.47)

dan hal yang sama

(2.48)

Sebagai tambahan,

(2.49)

Sebagaimana dapat dilihat dari perhitungan-perhitungan ini, fungsi-fungsi spin α, β dalam persamaan (2.46) memenuhi sifat ortonormalitas.
Untuk sebuah fungsi ψ dari sebuah elektron dengan memperhatikan spin elektron, terdiri dari variabel untuk koordinat spasial x, y, z dan koordinat spin σ. Jika komponen dari spin elektron s_z memiliki suatu nilai nilai yang pasti, fungsi spin dapat terdiri dari α atau β. Ini akan memberikan keadaan bahwa fungsi orbital spasial unt uk koordinat kartesian φ(x,y,z) menghasilkan pasangan fungsi gelombang berikut untuk elektron-elektron yang di akomodasi dalam orbital spasial ini.

(2.50)

(2.51)

Persamaan-persamaan ini berkaitan dengan sebuah aturan bahwa jumlah elektron dalam setiap orbital spasial (dalam kasus sebuah atom dengan orbital 1s, 2s, 2p_x, 2p_y, 3d_xy, dll.) haruslah tidak melebihi dua.

2.4.3 Batasan pada fungsi gelombang elektron banyak dan prinsip Pauli.

Pertanyaan tentang berapa banyak elektron yang dapat menempati sebuah orbital atomik seperti pada orbital 1s adalah masalah yang sangat penting dalam hubungannya dengan spektra atomik dan sifat-sifat atomiknya. Solusi dari masalah ini diberikan oleh Pauli pada tahun 1924 dan aturan ini disebut sebagai prinsip Pauli atau prinsip eksklusi Pauli.

[Prinsip Pauli (Prinsip eksklusi)]

Setiap orbital dapat ditempati oleh sebuah elektron dengan spin α atau spin β, akan tetapi ia tidak dapat ditempati oleh dua atau lebih elektron dengan spin yang sama.
Aturan ini ditetapkan oleh Pauli berdasarkan hasil eksperimen seperti pada spektra atomik. Hal yang sangat penting adalah bahwa setiap elektron memenuhi aturan ini, dalam hubungannya dengan pembentukan fungsi gelombang elektron banyak.
Marilah kita meninjau dua elektron. Satu terletak pada sebuah koordinat q₁ dan yang lain pada q₂. Keadaan ini dinyatakan dengan sebuah fungsi gelombang yang ditulis sebagai Ψ(q₁,q₂). Hal yang sama sebuah keadaan untuk dua elektron dengan koordinat yang saling bertukar dapat ditulis sebagai Ψ(q₁,q₂). Meskipun Ψ(q₁,q₂) dan Ψ(q₂,q₁) secara matematika berbeda ekspresi yang menyatakan penomoran elektron-elektron sebagai 1 dan 2, kita tidak dapat mengenal setiap perbedaan dalam dalam penomoran ketika kita mengamati elektron. Ini akan mengakibatkan bahwa probabilitas untuk menemukan elektron nomor 1 pada q₁ dan elektron nomor 2 pada q₂ harus sama dengan probabilitas untuk menemukan elektron nomor 1 pada q₂ dan elektron nomor 2 pada q₁. Kondisi ini dinyatakan dengan persamaan berikut.

(2.52)

Dengan mencatat bahwa fungsi gelombang secara umum adalah bilangan kompleks, kita akan memperoleh

(2.53)

Pilihan awal dari dua elektron dan juga geometrinya dapat diambil sembarang. Dengan demikian adalah tidak masuk akal untuk mengasumsikan bahwa konstanta θ dalam persamaan (2.53) berbeda dan bergantung pada pilihan dari elektron dan geometrinya. Karenanya hubungan yang sama harus dipenuhi untuk sebuah pertukaran dari q₁ dan q₂.

(2.54)

Dua persamaan ini akan menghasilkan

(2.55)

Sehingga,

(2.56)

Dan akan menghasilkan

(2.57)

Dan kemudian

(2.58)

Kita bisa menyatakan bahwa tanda dari sebuah fungsi gelombang dapat berubah atau tidak, ketika sebuah pasangan partikel yang identik dipertukarkan koordinat geometriknya.
Sif at dari partikel akan menentukan yang mana dari dua kemungkinan tersebut yang dapat terjadi.

1. Untuk tanda yang tidak berubah dengan sebuah perkalian +1, fungsi gelombangnya simetrik terhadap pertukaran koordinat dan partikel tipe ini disebut sebagai partikel Bose atau boson.
2. Untuk tanda yang berubah dengan sebuah perkalian -1, fungsi gelombangnya antisimetrik terhadap pertukaran koordinat dan partikel tipe ini disebut sebagai partikel Fermi atau fermion.

Prinsip Pauli menunjukkan bahwa elektron adalah fermion dan fungsi gelombang akan berubah tandanya jika terjadi pertukaran koordinat.
Jika sebuah fungsi gelombang simetrik diijinkan untuk elektron-elektron, ini akan berlawanan dengan prinsip Pauli. Sebagai contoh, marilah kita mengasumsikan bahwa terdapat dua elektron menempati orbital 1s dengan spin α. Fungsi gelombang Ψ yang berkaitan dengan asumsi ini dinyatakan dengan fungsi orbital φ_1s sebagai berikut.

(2.59)

Sekarang, marilah kita menukarkan koordinat dari nomor 1 dan nomor 2 dan kemudian kita mendapatkan

(2.60)

Ini secara jelas menunjukkan simetri fungsi gelombang untuk boson. Dengan kata yang lain, jika elektron-elektron tersebut adalah foston, akan ada dua atau lebih elektron yang menempati keadaan 1s yang sama dalam atom. Akan tetapi, keadaan ini akan berlawanan dengan prinsip Pauli.
Di sisi lain, untuk fungsi gelombang yang simetrik, tidak ada keadaan yang berlawanan dengan prinsip Pauli yang dapat diterima. Gambaran ini dapat dengan mudah dilihat ketika sebuah fungsi gelombang determinan, yang diusulkan oleh J. C. Slater dan disebut sebagai determinan Slater, digunakan.
Marilah kita memperkenalkan fungsi orbital ψ₁, dan ψ₂ yang juga terkandung koordinat spin sebagai tambahan dari koordinat spasial. Kita menulis fungsi gelombang Ψ untuk sistem dengan 2 elektron sebagai determinan berikut.

(2.61)

Setelah melakukan ekspansi, kita akan mendapatkan persamaan berikut yang menunjukkan karakter antisimetrik.

(2.62)

Harus dicatat di sini bahwa Hamiltonian ?? invarian terhadap pertukaran koordinat dari partikel identik dan bahwa jika Ψ = ψ₁(q₁)ψ₂(q₁) adalah sebuah solusi dari ??ψ = Eψ, maka ψ = ψ₁(q₂)ψ₂(q₂) juga merupakan solusi dari ??ψ = Eψ. Ini akan diikuti dengan keadaan bahwa determinan di atas memenuhi hubungan ??Ψ = EΨ. Dengan menggunakan determinan yang diusulkan oleh Slater, kita dapat membangun sebuah fungsi gelombang antisimetrik yang terdiri dari fungsi-fungsi orbital.
Sekarang kita mengasumsikan lagi bahwa ada dua elektron yang menempati orbital 1s dengan spin yang sama yaitu spin α. Dalam kasus ini , ψ₁ = φ_1s .α, ψ₂ = φ_1s .α, atau ψ_1s = ψ₂. Dengan demikian, kita dapat mengabaikan indeks dengan ψ₁ = ψ₂ = ψ. Fungsi gelombang determinan untuk sistem ini akan menjadi

(2.63)

Nilai yang sama dengan nol pada determinan ini adalah hasil yang pasti berkaitan dengan aturan umum dari determinan bahwa sebuah determinan dengan sebuah pasangan pada baris yang sama atau kolom yang sama akan sama dengan nol. Jika aturan ini digunakan, determinan dalam persamaan (2.63) dengan mudah akan diketahui sama dengan nol tanpa perlu dilakukan ekspansi. Berdasarkan pada hasil ini, dengan mudah terlihat bahwa sebuah konfigurasi elektron yang menempati orbital dan melanggar prinsip Pauli akan menghasilkan fungsi gelombang yang secara fisik tidak dapat dimungkinkan dengan sebuah nilai yang sama dengan nol atau mengindikasikan ketidakberadaan partikel. Perhatian yang lebih detail dan hati-hati telah menunjukkan bahwa fungsi gelombang yang antisimetrik, kompatibel dengan prinsip Pauli. Ini akan memberikan pemahaman bahwa elektron adalah fermion dengan karakter antisimetrik.
Karenanya, lebih mudah untuk menyatakan sebuah fungsi gelombang atom banyak sebagai sebuah determinan dari sebuah matrik dengan di dalamnya tersusun fungsi orbital. Sebuah fungsi gelombang determinan dibentuk dari fungsi orbital ternormalisasi sebagai sebuah fungsi untuk elektron banyak, dengan menyatakan bahwa sebuah faktor 1/N! ada di dalamnya. Dalam usaha untuk menyatakan sebuah fungsi gelombang determinan dalam bentuk yang singkat, kita dapat menuliskannya sebagai |ψ₁ψ₂…ψ_N| melalui sebuah barisan fungsi orbital {ψ_1i} di antara sebuah pasangan garis vertikal.
Sebuah susunan dari fungsi orbital dalam sebuah bentuk matriks adalah ekivalen dengan membuat sebuah konfigurasi elektron yang berkaitan dengan keberadaan elektron pada masing-masing orbital. Ini, dengan kata lain mengakibatkan bahwa elektron akan menempati tingkat energi masing-masing. Dengan demikian, keadaan di mana elektron menempati orbital atau tingkat tertentu disebut sebagai konfigurasi elektron atau konfigurasi elektronik. Fungsi gelombang determinan digunakan sebagai perumusan matematik dari konfigurasi elektron. Metoda konseptual untuk membuat konfigurasi elektron dapat dipahami sebagai pengisian orbital oleh elektron.
Pembentukan fungsi gelombang determinan tidak memiliki kelebihan fisik yang penting jika nilainya sama dengan nol berlawanan dengan keberadaan elektron-elektron. Untuk dapat menghindari situasi yang tidak wajar, kehati-hatian harus dilakukan sedemikian rupa sehingga tidak ada fungsi orbital yang identik yang berada dalam barisan orbital dalam determinan atau dengan kata lain, kita tidak menggunakan kombinasi yang sama dari sebuah fungsi koordinat spasial dan sebuah fungsi spin lebih dari sekali dalam determinan. Penggunaan fungsi gelombang determinan menjamin dipenuhinya sifat antisimetrik elektron, dan karenanya konfigurasi elektron yang tidak sejalan dengan prinsip Pauli secara otomatis dapat dihindari karena nilai dari determinan yang demikian itu sama dengan nol.