teorema bilangan,phytagoras dan wilson

Teorema Wilson

Tentukan sisa pembagian dari $12!$ Dibagi 13
Tentunya kita bisa menghitungnya dengan menggunakan kalkulator. Dan perhatikan masalah-masalah lain di bawah ini

$1!$ dibagi 2

$2!$ dibagi 3

$4!$ dibagi 5

$6!$ dibagi 7

$10!$ dibagi 11

$12!$ dibagi 13

dan seterusnya…

Bagaimana dengan $70!$ dibagi 71

Tentunya kalkulator bisa tidak cukup untuk menghitungnya. Padahal semua jawaban dari pertanyaan di atas adalah sama dengan –1.
seorang matematikawan Inggris Edward Wearing menyatakan bahwa muridnya menemukan bahwa $(p-1)!+1$ habis dibagi oleh p berapapun p yang merupakan bilangan prima. Namun, tidak ada dari keduanya yang mampu membuktikannya.
Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson.

Teorema Wilson mengatakan

Jika p bilangan prima, maka $(p-1)! \equiv -1(mod p)$

maka teorema Wilson dapat dituliskan sebagai $(p-1)!+1 \equiv 0(mod p)$
Rumus bentuk lainnya yaitu $a^p+(p-1)!a=a^p-1(mod p)$ .

Contoh : Berapakah sisa dari $70!$ dibagi 71

Menurut teorema Wilson, $70! \equiv -1(mod \,71)$ . Jadi sisa pembagian dari $70!$ dibagi 71 adalah –1.
Tepatnya jika diterapkan dalam teorema keterbagian adalah 70.

Bukti Teorema Pythagoras

teorema Pythagoras berbunyi pada suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Secara umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dapat dinyatakan $AB^2 = AC^2 + BC^2$ . Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3 atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras. Banyak buku-buku menuliskan teorema ini sebagai $c^2 = a^2 + b^2$ . Dengan c adalah sisi miring.

Bukti dari teorema ini sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk membuktikan teorema Pythagoras ini. Di sini akan diberikan beberapa bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).

Bukti 1

Disediakan 4 buah segitiga siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4 segitiga di atas adalah segitiga yang sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut. Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari segitiga pertama. Luas masing-masing segitiga yaitu $\frac{ab}{2}$ . Sehingga luas 4 segitiga tersebut adalah $2ab$ .

Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.

Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah $(b-a)$ .

Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu $c^2$ . Dan secara tidak langsung, luas persegi besar dengan sisi c tersebut adalah sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil yang mempunyai sisi $(b-a)$ . Sehingga diperoleh,

$c^2 = 2ab + (b-a)^2$
$c^2 = 2ab + b^2-2ab + a^2$
$c^2 = b^2 + a^2$

Bukti 2

Perhatikan gambar. Gambar tersebut adalah gambar 2 persegi. Persegi yang besar adalah sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi a, dan persegi kecil mempunyai panjang sisi yaitu b. Luas persegi yang besar tentunya adalah $a^2$ . Dan luas persegi kecil adalah $b^2$ . Sehingga luas bangun diatas adalah $b^2 + a^2$

Kedua persegi tersebut kita gabungkan. Dan kita buat garis sedemikian sehingga seperti pada gambar. Sisi c menjadi sisi miring dari segitiga tersebut. kemudian kita potong segitiga-segitiga tersebut. dan kita pindahkan ke bagian atas dan samping kanan seperti pada gambar berikut.

Luas persegi dengan sisi c tersebut tentunya adalah $c^2$ . Karena 2 persegi pada awal tadi adalah sama dengan 1 persegi besar dengan sisi c diatas, maka tentunya luas 2 persegi pertama sama dengan luas persegi besar dengan sisi c tersebut. sehingga, $c^2 = b^2 + a^2$

Bukti 3

Gambar tersebut adalah gambar sebuah trapesium yang dibentuk dari 3 segitiga. Luas trapesium tersebut adalah $\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$ . dicari menggunakan rumus luas trapesium. Yaitu setengah dikalikan dengan jumlah sisi yang sejajar dikali tinggi trapesium. Mencari luas bangun datar diatas dapat juga menggunakan jumlah luas segitiga (perhatikan gambar). yaitu

$\frac{1}{2}ab+ \frac{1}{2}ab+ \frac{1}{2}c^2$ .

Luas yang dihitung adalah tetap. Yaitu bentuk trapezium tersebut. sehingga haruslah kedua luas yang dicari dengan langkah yang berbeda itu harus sama. Diperoleh,

$\frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
$\frac{1}{2} (a^2+ 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$
$\frac{1}{2}a^2+ ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
$a^2 + b^2 = c^2$

Bukti teorema-teorema bilangan

Teorema. $\forall a \in R$ , berlaku $a.0=0$
Bukti.
Menurut sifat identitas penjumlahan berlaku $1=1+0$ . Akibatnya, $a.1=a.(1+0)$ .
Jadi,
$a=a.1+a.0$ [sifat distributif]
$(-a)+a=(-a)+(a+a.0)$
$0=0+a.0$
$0=a.0$

Teorema. Bilangan 0 tidak memiliki invers perkalian
Bukti.
Dari teorema di atas berlaku $0a=0$ untuk setiap a. padahal bila 0 mempunyai invers berarti $0a=1$ untuk suatu a, akibatnya $0=1$ . Hal ini tidak mungkin terjadi dalam bilangan real, sehingga haruslah pernyataan 0 tidak mempunyai invers merupakan pernyataan yang benar.

Teorema. Jika $ab=ac$ dan $a \ne 0$ , maka $b = c$
Bukti.
Diketahui $ab = ac$ dan $a \ne 0$ , artinya a mempunyai invers. Sehingga dapat dituliskan,
$a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)$
$(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c$
$1b = 1c$
$b = c$

Teorema. $\forall a$ dan $b \in R$ , berlaku $(-a)b = -(ab)$
Bukti.
Kita tunjukkan bahwa $(-a)b$ adalah negative dari $(ab)$ , artinya
$(-a)b + ab = ab + (-a)b = 0$
Menurut hukum distributif,
$(-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0$
Jadi, $(-a)b = -(ab)$

Teorema. $\forall a$ dan $b \in R$ , berlaku $-(a + b) = (-a) + (-b)$
Bukti.
Kita buktikan bahwa $[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$ seperti berikut,
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = [(-a) + (-b)] + (a + b)$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + (-b) + b + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + 0 + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$

Teorema. $a < b$ jika dan hanya jika $b - a > 0$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka menurut sifat pada bilangan berlaku $a - a < b - a$ . oleh karena itu didapatkan $0 < b - a$ . yang tidak lain yaitu $b - a > 0$ . Sebaliknya, jika $b - a > 0$ , maka $(b - a) + a > 0 + a$ . dan diperoleh $b > a$

Teorema. $a < b$ dan $c > 0$ , maka $ac < bc$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka $b - a > 0$ . Akibatnya, menurut sifat pada bilangan didapatkan $(b - a)c > 0.c$ . sama dengan $(b - a)c > 0$ . Sehingga $bc - ac > 0$ . Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $ac < bc$

Teorema. Jika $a < 0$ , maka $-a > 0$
Bukti.
$a < 0$ maka $a - a < 0 - a$ . diperoleh $0 < -a$ . Sama dengan $-a > 0$

Teorema. Jika $a > 0$ , maka $-a < 0$
Bukti.
$a > 0$ maka $a - a > 0 - a$ . diperoleh $0 > -a$ . Sama dengan $-a < 0$

Teorema. $a < b$ dan $c < 0$ , maka $ac > bc$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka $b - a > 0$ . Padahal $c < 0$ . Maka $c - c < 0 - c$ . maka $-c > 0$ . Akibatnya didapatkan $-bc + ac > 0$ . Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $ac > bc$

Breaking News

Mulyono Blog's

Sabtu, 19 Maret 2011

teorema bilangan,phytagoras dan wilson

Teorema Wilson

Bukti Teorema Pythagoras

Bukti teorema-teorema bilangan

Recent Post

Featured

Popular

Categories

Arsip Blog

Translate