Besaran Vektor

Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lain-lain. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah yang mempunyai titik tangkap (titik pangkal) sebagai tempat permulaan vektor itu bekerja. Panjang garis menunjukkan nilai vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor itu bekerja. Garis yang melalui vektor tersebut dinamakan garis kerja.

Penulisan sebuah simbol besaran vektor dengan menggunakan huruf tegak dicetak tebal, misalnya vektor AB ditulis AB. Selain itu, dapat pula dinyatakan dengan huruf miring dengan tanda panah di atasnya, misalnya vektor AB ditulis

Besar (nilai) sebuah vektor dinyatakan dengan huruf miring AB. Selain itu dapat pula dituliskan dalam garis mutlak, yaitu dua garis tegak sejajar, pada kedua sisi notasi vektor, misalnya, besarnya vektor AB = AB = |AB|.

1. Menggambarkan Vektor dalam Bidang Datar (dalam Dua Sumbu)

vektor pada bidang datar xoy dengan Î± adalah arah vektor terhadap sumbu x

Pada bidang datar, vektor mempunyai dua komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y. Sebuah vektor dapat saja mempunyai satu komponen bila vektor tersebut berada pada salah satu sumbu x atau y.

Komponen vektor adalah vektor-vektor yang bekerja pada saat yang bersamaan sehingga menghasilkan satu vektor dengan arah tertentu (resultan). Oleh karena vektor tergantung pada besar dan arah, maka vektor tersebut dapat dipindahkan titik tangkapnya asal besar dan arahnya tetap.

Penulisan matematis A dapat ditulis dalam komponen-komponennya:
A = Ax + Ay; A merupakan jumlah dari komponen-komponennya.
Cara lain untuk menuliskan vektor, yaitu:

Di mana: Ax dan Ay menunjukkan besar (harga) vektor pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y, sedangkan i dan j adalah vektor satuan pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y. Vektor satuan adalah vektor yang besar/harganya satu satuan; vektor ruang yang telah diuraikan ke sumbu x(i), sumbu y(j), dan sumbu z(k). Dikatakan vektor satuan karena besar vektor = |i| = |j| = |k| = 1. Misalnya, vektor A mempunyai komponen sumbu x(Ax), pada sumbu y(Ay), dan sumbu z(Az ), maka vektor A dapat ditulis dalam lambang vektor:

Panjang vektor A adalah:

2. Penjumlahan Vektor

Jumlah vektor segaris

Penjumlahan dua buah vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya. Dengan kata lain untuk €œmenjumlahkan dua buah vektor€ adalah €œmencari resultan€. Untuk vektor-vektor segaris, misalnya vektor A dan B dalam posisi segaris dengan arah yang sama seperti tampak pada gambar disamping, maka resultan (jumlah) vektor dituliskan: R = A + B

Pada kasus penjumlahan vektor yang lain, seperti yang ditunjukkan gambar disamping kanan, terdapat dua vektor yang tidak segaris yang mempunyai titik pangkal sama tetapi dengan arah yang berbeda, sehingga membentuk sudut tertentu. Untuk vektor-vektor yang membentuk sudut Î± , maka jumlah vektor dapat dilukiskan dengan menggunakan metode tertentu. Cara ini disebut dengan metode jajaran genjang.

a. Penjumlahan Vektor Menggunakan cara Jajar Genjang
Cara melukiskan jumlah dua buah vektor dengan metode jajaran genjang sebagai berikut:

a. titik tangkap A dan B dibuat berimpit dengan memindahkan titik tangkap A ke titik tangkap B, atau sebaliknya;
b. buat jajaran genjang dengan A dan B sebagai sisi-sisinya;
c. tarik diagonal dari titik tangkap sekutu, maka A + B = R adalah diagonal jajaran genjang.

Gambar disamping menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan persamaan, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.

Persamaan diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR, sehingga dihasilkan:

Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga:

R adalah diagonal panjang jajaran genjang, jika Î± lancip. Sementara itu, Î± adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B. Sebuah vektor mempunyai besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu menentukan arah dan resultan vektor tersebut. Arah R dapat ditentukan oleh sudut antara R dan A atau R dan B.Misalnya sudut Î¸ merupakan sudut yang dibentuk R dan A, maka dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga OPR akan diperoleh:

Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut Î¸ dapat diketahui.

a. Penjumlahan Vektor Menggunakan cara Segitiga

Metode segitiga merupakan cara lain untuk menjumlahkan dua vektor, selain metode jajaran genjang. Dua buah vektor A dan B, yang pergerakannya ditunjukkan gambar (a) disamping kanan, akan mempunyai resultan yang persamaannya dituliskan: R = A + B

Resultan dua vektor akan diperoleh dengan menempatkan pangkal vektor yang kedua pada ujung vektor pertama. Resultan vektor tersebut diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua.

Pada Gambar (b) disamping kiri, pergerakan dimulai dengan vektor B dilanjutkan engan A, sehingga diperoleh persamaan: R = B + A
Sehingga, A + B = B + A
Hasil yang diperoleh ternyata tidak berubah. Jadi, dapat disimpulkan bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif.

Tahapan-tahapan penjumlahan vektor dengan metode segitiga adalah sebagai berikut:
a) pindahkan titik tangkap salah satu vektor ke ujung berikutnya,
b) hubungkan titik tangkap vektor pertama ke ujung vektor kedua yang menunjukkan resultan kedua vektor tersebut,
c) besar dan arah vektor R dicari dengan aturan cosinus dan sinus.

Jika penjumlahan lebih dari dua buah vektor, maka dijumlahkan dulu dua buah vektor, resultannya dijumlahkan dengan vektor ke-3 dan seterusnya. Misalnya, penjumlahan tiga buah vektor A, B, dan C seperti ditunjukkan pada gambar disamping. Pertama-tama jumlahkan vektor A dan B yang akan menghasilkan vektor V. Selanjutnya, vektor V tersebut dijumlahkan dengan vektor C ehingga
dihasilkan resultan R:

R = (A + B) + C = V + C

Dapat dilakukan juga dengan cara lain yaitu dengan menjumlahkan vektor B dan C untuk menghasilkan W, yang kemudian dijumlahkan dengan vektor A, sehingga diperoleh resultan R, yaitu:
R = A + ( B + C) = A + W

Jika banyak vektor, maka penjumlahan vektor dilakukan dengan menggunakan metode poligon (segi banyak).

3. Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, tetapi dalam hal ini salah satu vektor mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya, vektor A dan B, jika dikurangkan maka: A - B = A + (-B). Di mana, (-B) adalah vektor yang sama dengan B, tetapi berlawanan arah.

4. Penguraian vektor secara analisis.

Untuk keperluan penghitungan tertentu, kadang-kadang sebuah vektor yang terletak dalam bidang koordinat sumbu x dan sumbu y harus diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus (sumbu x dan sumbu y). Komponen ini merupakan nilai efektif dalam suatu arah yang diberikan. Cara menguraikan vektor seperti ini disebut analisis. Misalnya, vektor A membentuk sudut Î± terhadap sumbu x positif, maka komponen vektornya adalah: